LET OP: na het downloaden de extensie wijzigen in xlsb
In het vorige artikel (Grenzen aan de groei – 1) hebben we beloofd dat we een poging zouden wagen om het model uit het rapport van de Club van Rome in Excel te implementeren, althans een vereenvoudigde versie daarvan. In dat artikel is te lezen hoe we dat zouden willen doen en aan de hand van wat vingeroefeningen hebben we laten zien dat het (in theorie) mogelijk zou moeten zijn.
Die laatste conclusie staat nog steeds, maar helaas hebben we wel moeten constateren dat de hoeveelheid verbanden tussen de diverse variabelen en de daarbij behorende parameters zo groot is dat een totale implementatie heel erg veel tijd gaat kosten. Dus deze keer vormt het Voorbeeldbestand geen afgerond project. In dit artikel zullen we laten zien hoe ver we gekomen zijn en welke Excel-opties daarbij zijn gebruikt.
Voor eenieder de uitdaging om de ‘handdoek in de ring’ weer op te rapen en het model verder uit te werken!
Dit is een schematische weergave van het (vereenvoudigde) ‘Club van Rome’-model; voor nadere uitleg zie het vorige artikel.
Belangrijk om te weten is het volgende:
de pijlen geven aan welke relaties er tussen de variabelen zijn onderkend
de pijlen laten zien in ‘welke richting’ de beïnvloeding loopt
we onderkennen in het model 3 soorten variabelen: de Inputs, de Kritische Factoren en de Tussen-variabelen. De Input-variabelen worden niet beïnvloed door de omgeving, maar kunnen wel in de loop van de jaren variëren. De KF’s zijn die 5 variabelen die in alle grafieken van het rapport terugkomen. Alle overige vallen onder de categorie Tussen-variabelen.
het rapport van de Club van Rome is in 1972 gepubliceerd; waar in dit artikel naar het verleden wordt verwezen bedoelen we dan ook de periode van 1900 tot en met 1970.
voor diverse variabelen is in de literatuur (zie het tabblad Docu van het Voorbeeldbestand) te achterhalen wat de waardes in het verleden zijn geweest. Dit is de eerste basis van de implementatie van het model.
bij de verdere implementatie heeft iedere variabele een eigen tabblad gekregen (behalve de Inputs; zie hierna). Alle aannames voor de berekening van een variabele staan in het betreffende tabblad vermeld. Vaak is daar ook een grafiek opgenomen van die variabele om snel het resultaat van de aannames te controleren.
Tabblad T15
Implementatie
Tabblad Beschr
In dit tabblad van het Voorbeeldbestand staat een overzicht van alle gebruikte variabelen met daarbij (zover al uitgezocht) de meest relevante berekening:
De betekenis van de Code en de Naam moge duidelijk zijn; de kolom Schema bevat de tekst zoals die op het tabblad SystemDynamics wordt gebruikt. In de kolom Omschrijving staat in het kort een nadere toelichting op de variabele en de laatste kolom bevat de (belangrijkste) formule voor de berekening van die variabele.
NB de codes onder de 10 voor de Tussenvariabelen hebben een extra 0 gekregen; dit om bij standaard-sorteringen altijd direct de juiste volgorde te hebben (anders zou bijvoorbeeld T10 vóór T2 komen).
Tabblad Inputs
Dit tabblad bevat de gegevens van de 4 Input-variabelen. Deze vormen samen de Excel-tabel tblInputs.
Op dit moment zijn alleen de I3 en I4 gevuld en per kolom hebben alle jaren dezelfde waarde. De juiste interpretatie van deze variabelen vergt nog onderzoek.
De KF-tabbladen
Zoals gezegd hebben alle KF’s (en ook de Tussen-variabelen) een eigen tabblad. Deze bladen hebben allemaal dezelfde structuur: de eerste kolom bevat de jaren en de tweede kolom de daarbij behorende waarde. Samen vormen deze 2 kolommen een Excel-tabel met een overeenkomende naam (in bovenstaand voorbeeld tblKF1).
NB de waarde-kolom heeft een voorwaardelijke opmaak: wanneer een cel een formule bevat dan wordt de inhoud in het groen, vet en cursief weergegeven.
In de volgende kolommen staat altijd de code en naam van de variabele, eventueel gebruikte bronnen en de diverse aannames. De rest van het tabblad wordt gebruikt om zo nodig extra berekeningen uit te voeren, de aannames toe te lichten etcetera.
Zoals aangegeven hebben deze tabbladen dezelfde structuur als de KF’s. In het voorbeeld hierboven is te zien dat voor T12 een formule wordt gebruikt, waarbij de gevoeligheid (GF) voor de invloed van een variabele kan worden ingesteld. Daarnaast kan aangegeven worden of de beïnvloeding een vertraging V kent en of er over een periode P gemiddeld moet worden (zie het artikel Grenzen aan de groei – 1).
LET OP in dat artikel hebben we, bij het gebruik van een periode, een rekenkundig gemiddelde gebruikt. Dat is, theoretisch gezien, niet juist. Hoewel dat in dit model, bij niet te grote ontwikkelingen in de tijd, niet echt relevant is, hebben we toch de betere methode gehanteerd waarbij het gemiddelde wordt bepaald met behulp van de Pde-machts wortel (ofwel tot de macht 1/P).
Resultaten
In principe zijn de resultaten van het model bekend als alle tabbladen zijn gevuld met waardes en formules. Door ’te spelen’ met de aannames, en vooral met de eventuele GF-, V– en P-waardes kan het model gefinetuned worden.
We zijn gestart met de onderkant van het model, het gedeelte rond de Industriële productie. De bovenkant is op de uitkomsten daarvan gebaseerd. Het implementeren van deze onderkant heeft heel wat hoofdbrekens gekost (wat is de betekenis van de variabelen, hoe zijn deze variabelen van elkaar afhankelijk, hoe kunnen we de afhankelijkheid modelleren, welke GF-, V– en P-waardes geven een zo getrouw mogelijk beeld van de werkelijkheid etcetera).
Door tijdgebrek moet G-Info het verder vullen van het model dan ook aan anderen overlaten.
Wel zullen we hieronder nog laten zien op welke manier de resultaten in Excel gemakkelijk kunnen worden weergegeven.
Tabblad Variabelen
Op dit tabblad in het Voorbeeldbestand staan de 25 variabelen van het model nogmaals in een overzicht. Maar ditmaal met aanvullende gegevens, waarmee we de lay-out van de output kunnen sturen:
in de eerste kolom staat aangegeven welk soort variabele het betreft: Input, KF of Tussen
de tweede kolom geeft aan of de betreffende variabele in de standaard-grafieken van het rapport van de Club van Rome is opgenomen
in dat rapport wordt een variabele altijd op dezelfde (onzichtbare) schaal weergegeven. Dat kunnen we nabootsen door aan te geven welke waarde van de variabele overeenkomt met de onderkant van het grafiekgebied (de kolom GrafMin) en welke waarde met de bovenkant (GrafMax)
in de laatste kolom staat een formule waarmee het label bij de betreffende lijn in de grafiek wordt bepaald. Standaard is het een combinatie van de 3e en 4e kolom, gescheiden door een ‘harde return’:
Dit overzicht is een Excel-tabel met de naam tblVar.
Query’s en verbindingen
Alle resultaten moeten nu nog geschaald worden. Dit kan uiteraard op de diverse tabbladen zelf door extra kolommen toe te voegen, maar we hebben er voor gekozen om dit met behulp van Power Query te implementeren.
NB1 Ziet u de Excel-verbindingen aan de rechterkant van het scherm niet, kies dan in de menutab Gegevens de optie Query’s en verbindingen.
Voor alle Excel-tabellen is een verbinding gemaakt. Wil je bekijken hoe die er uit ziet? Klik rechts op een verbinding en kies de optie Bewerken (of dubbel-klik op een query-naam).
NB2 de Input-query’s zijn iets ingewikkelder omdat daar één specifieke kolom uit de input-tabel moet worden opgehaald.
Bij het bewaren van de query’s is de optie Alleen verbinding maken gekozen en is de optie Toevoegen aan gegevensmodel aangevinkt. Die laatste optie zorgt er voor dat de query’s in het gegevensmodel van deze Excel-sheet worden opgeslagen.
Het gegevensmodel bevat nog één extra query, q_GrafData. Deze combineert alle andere verbindingen tot één database. Deze database vormt de basis voor een draaitabel en een daarbij behorende grafiek. Ook deze query is opgeslagen met de eigenschappen Alleen verbinding en Toevoegen aan gegevensmodel.
Bekijk de query door dubbelklikken op de naam.
Tabblad GrafData
Op het tabblad GrafData van het Voorbeeldbestand staat een draaitabel, gebaseerd op de query q_GrafData. Hoe genereer je zo’n draaitabel?
selecteer een lege cel, waar de draaitabel moet komen
kies in de menutab Invoegen in het blok Tabellen de optie Draaitabel
in het pop-up scherm ziet u dat Excel het gegevensmodel zal gaan gebruiken:
klik op het driehoekje vóór de gewenste query uit het gegevensmodel en sleep de benodigde velden naar de juiste plaats:
In het voorbeeld hebben we ook 3 slicers toegevoegd waarmee het maken van keuzes vergemakkelijkt wordt. Hierboven hebben we met een klik op Ja in de eerste slicer alleen die variabelen geselecteerd, die ook in het rapport van de Club van Rome in de standaard-grafieken voorkomen.
LET OP als er iets aan de parameters van het model wordt gewijzigd dan worden de gegevens op het betreffende tabblad direct gewijzigd. Ook resultaten van formules op andere tabbladen kunnen daardoor wijzigen. De query’s en de draaitabel wijzigen niet automatisch mee! Alles zal vernieuwd moeten worden. Op het tabblad GrafData wordt met één klik op de betreffende button een VBA-routine gestart die deze totale verversing van het Excel-systeem voor zijn rekening neemt. Dit kan wel enkele minuten duren!
Tabblad Grafiek
Het tabblad Grafiek van het Voorbeeldbestand bevat een draaitabelgrafiek. Dit is de grafische weergave van de gegevens van de draaitabel van het tabblad GrafData. Dus: ook keuzes gemaakt met de slicers worden in deze grafiek meegenomen.
Duidelijk is te zien dat de implementatie van het model nog lang niet klaar is. De industriële productie en de hulpbronnen geven bijvoorbeeld wel al een verwacht verloop, terwijl de blijvende toename van de bevolking of voedsel per hoofd niet reëel is. Het model in het Voorbeeldbestand is dan ook nog maar voor een klein gedeelte geïmplementeerd. Zoals gezegd: tijdgebrek noopt ons om de rest aan andere Excel-liefhebbers over te laten.
LET OP: na het downloaden de extensie wijzigen in xlsb
De oudere jongeren onder ons (of de jongere ouderen?) weten het nog wel: in 1972 (50 jaar geleden) verscheen het Rapport van de Club van Rome met als ondertitel De grenzen aan de groei.
Een pocketboekje dat een intensieve discussie op gang heeft gebracht: voor sommige mensen was het een eye-opener (we kunnen niet blijven doorgaan met het ongelimiteerd opsouperen van onze hulpbronnen, we moeten ‘de groei’ temperen), anderen wezen er op dat je met het onderliggende model alles kunt bewijzen (een Eindhovense professor formuleerde dat als ‘Met dit model kun je ook je eigen handtekening maken; een kwestie van de parameters aanpassen aan je wensen‘).
In het vorige artikel van G-Info is een voorbeeld uit het rapport langs gekomen om te laten zien hoe je Vergelijkingen/formules in Excel kunt schrijven. Een losse opmerking daarbij (‘Zou het model in Excel nagebouwd kunnen worden?“) is het begin van een zoektocht geworden. Gelukkig kwam daarbij al snel een vereenvoudigd model naar boven. Het begin van een uitdaging: kan dit model in Excel op een zodanige manier geïmplementeerd worden, dat in ieder geval de resultaten van de Club van Rome gereproduceerd worden?
In dit artikel eerst een korte achtergrond van het Rapport van de Club van Rome, een uitleg van het vereenvoudigde model en daarna wat vingeroefeningen om te laten zien hoe we denken dat de implementatie er uit kan gaan zien.
Rapport van de Club van Rome
Wikipedia: “De grenzen aan de groei is een rapport van de Club van Rome uit 1972 waarin de uitputtingsproblematiek centraal staat. Het rapport werd uitgewerkt door een team van het Massachusetts Institute of Technology (MIT) onder leiding van Dennis Meadows en Donella Meadows. Het rapport heeft grote invloed gehad op het milieubewustzijn.
Aan de basis van de studie ligt het gebruik van een systeemdynamisch model met computersimulatie van interacties tussen bevolking, industriële groei, voedselproductie en limieten in de ecosystemen van de aarde: het World3-model, mede ontwikkeld door Jay Forrester. Van deze variabelen werd de ontwikkeling van 1900 tot 1970 vastgesteld. Vervolgens werden de trends voortgezet, waarbij verschillende aannames werden gedaan. Ervan uitgaande dat geen belangrijke veranderingen plaats zouden vinden in de fysieke, economische en sociale relaties (het referentie scenario) waren de uitkomsten schokkend. De natuurlijke hulpbronnen zouden gaandeweg uitgeput raken en de industriële groei remmen. De bevolkingsomvang en vervuiling zouden nog enige tijd toenemen, maar de verslechtering van de voedselvoorziening en de gezondheidszorg leidden in eerste instantie tot stilstand en later tot terugloop in de bevolkingsgroei.“
Het rapport was niet zozeer bedoeld om kwantitatieve voorspellingen over de toekomst te doen (de leden van de Club en MIT’ers beseften terdege dat het model daarvoor veel te globaal en simpel was). Het diende als input voor de discussie over de groei van de wereldbevolking, ons consumptiepatroon en het gebruik van de natuurlijke grondstoffen en het effect van milieuvervuiling.
Het model is doorgerekend met diverse scenario’s. Hiernaast staat een grafische weergave van het resultaat van het standaard BAU-scenario (Bussiness As Usual). Daarin volgen alle variabelen van 1900 tot 1970 de historische waarden. De rest is door het model berekend op basis van de aanname dat “er geen belangrijke veranderingen plaatsvinden in de fysieke, economische of sociale relaties.“
De grafieken werden weergegeven door letters, waarna de belangrijkste variabelen met de hand werden ingetekend; B stelt het geboortecijfer voor, D het sterftecijfer en S de diensten per hoofd. Uit het rapport: “Elk van de variabelen is uitgezet op een verschillende schaalverdeling. We hebben met opzet de verticale schaalverdelingen weggelaten en de horizontale tijdas geen indeling gegeven, omdat we de nadruk willen leggen op de algemene gedragspatronen, niet op de numerieke waarden die slechts onnauwkeurig bekend zijn. Maar de schalen zijn in alle scenario’s gelijk, zodat de grafieken gemakkelijk vergeleken kunnen worden.“
Iedereen die geïnteresseerd is in de resultaten van de scenario’s moeten we doorverwijzen naar diverse publicaties. De Nederlandstalige versie van het rapport is nog te koop, de Engelstalige versie is in PDF-versie te downloaden.
Het idee om eens te kijken of we met Excel het BAU-scenario zouden kunnen reproduceren, leek bij bestudering van deze info niet haalbaar. Totdat ….
Een vereenvoudigd model
Bij de zoektocht op internet kwam ik een studie tegen waarin de resultaten van het oorspronkelijke model vergeleken werden met recente data. Ook is daar een vereenvoudigd model te vinden.
Dit model bestaat uit 25 variabelen. Dat moet te doen zijn en ook het aantal verbanden daartussen lijkt behapbaar.
Misschien dat het toch gaat lukken om de resultaten uit 1972 te reproduceren! En dat dan niet alleen: misschien kunnen we de diverse parameters in het model zodanig aanpassen, dat we weten hoe we de wereld de juiste kant op kunnen sturen 😉
Op het tabblad SystemDynamics van het Voorbeeldbestand ziet u een aangepaste vorm van dit vereenvoudigde model:
Bovenstaand model is in Excel gemaakt met 2 soorten vormen: Ovalen en Gekromde pijlen.
Kies in de menutab Invoegen in het blok Illustraties de optie Vormen.
Selecteer de gewenste vorm en ’teken’ met de muis ongeveer op de plaats waar deze moet komen.
Pas in de menutab Hulpmiddelen voor tekenen de Opmaak aan.
De ovalen zijn gemakkelijk groter en kleiner te maken door middel van de rondjes aan de zijkanten. Bovenin zit een greep waarmee de vorm gedraaid kan worden.
De plaats en de vorm van de pijlen kunnen via de 3 bolletjes aangepast worden. Zorg wel dat de uiteinden van de pijl precies op één van de 8 rondjes van een ovaal terecht komen (het resultaat is dan een dicht zwart bolletje). Wanneer je achteraf een vorm verschuift zal de pijl meebewegen.
Je kunt een tekst in een ovaal plaatsen door daarin te dubbel-klikken en dan de tekst te tikken. Om de consistentie te bewaken hebben we alle codes en namen in een apart tabblad Beschr vastgelegd. Door nu eenmaal in/op een ovaal te klikken kan in de formulebalk een verwijzing naar een cel in dit tabblad gemaakt worden. De cellen in kolom D worden gebruikt in het model; afhankelijk van de grootte van de tekst plaatsen we tussen de Code en de Naam een spatie of een harde return (druk tussen de aanhalingstekens op Alt-Enter). Alle cellen in kolom D hebben een overeenkomende naam gekregen (bijvoorbeeld cel D4 heeft de naam KF1_; de underscore is nodig omdat Excel anders denkt dat we een verwijzing naar de cel in kolom KF en rij 1 bedoelen).
NB heb je een paar vormen (inclusief opmaak) die voldoen, dan kun je die natuurlijk ook kopiëren. De tekst (en misschien de grootte) aanpassen en je bent klaar.
Variabelen
We onderkennen in het model 3 soorten variabelen: de Inputs, de Kritische Factoren en de Tussen-variabelen. De Input-variabelen worden niet beïnvloed door de omgeving, maar kunnen wel in de loop van de jaren variëren. De KF’s zijn die 5 variabelen die in alle grafieken van het rapport terugkomen. Alle overige hebben de naam Tussen-variabelen gekregen.
Verbanden tussen variabelen
De pijlen in het model geven het verband tussen de diverse variabelen aan. De richting en kleur laten de soort beïnvloeding zien.
1. Lineair of absoluut verband
Tussen sommige variabelen zit een lineair/absoluut verband: variabelen worden bij elkaar opgeteld of op elkaar gedeeld om de waarde van een andere variabele te berekenen.
Bijvoorbeeld, voor de bevolkingsomvang gebruiken we de volgende formule: KF1t=KF1t-1 + T1t -T2t De Bevolkingsgrootte KF1 in jaar t is de grootte in jaar t-1plus de Geboortes T1 in jaar tminus de Sterftes T2 in jaar t. In het model gaat er een groene pijl van T1 naar KF1, een rode van T2 naar KF1.
Een ander absoluut verband zien we bij KF4: KF4t=T8t/KF1t-1. Het Voedsel per hoofd KF4 in jaar t is gelijk aan de Hoeveelheid voedsel T8 in jaar t gedeeld door de Bevolkingsgrootte KF1 in jaar t-1. Hoe groter T8 hoe groter KF4 (dus een groene pijl in het model), hoe groter KF1 hoe kleiner KF4 (een rode pijl).
NB we kiezen er voor om te delen door de bevolkingsgrootte in het jaar t-1, omdat we anders het risico lopen op een kringverwijzing: KF4 heeft invloed op de sterftekans T4 en die bepaalt weer de bevolkingsgrootte.
2. Relatief verband
Maar de meeste pijlen in het model vertegenwoordigen een ingewikkelder verband tussen de variabelen. We kunnen bijvoorbeeld niet zeggen dat we de hoeveelheid gezondheidszorg ergens van af trekken om tot een sterftekans te komen.
Maar het is wel aannemelijk dat als de gezondheidszorg van jaar op jaar toeneemt dat dan de sterftekans afneemt (los van andere variabelen). In formulevorm: ofwel
NB1 Hoe sterk de invloed van de gezondheidszorg op de sterftekans is, wordt door α bepaald.
NB2 hadden we te maken met een positieve invloed (een groene pijl) dan hadden we de teller en noemer bij T5 omgewisseld.
LET OP We zullen hierna zien dat deze vorm meestal nog te eenvoudig is om het verband tussen variabelen goed te modelleren.
Zoals het er nu uitziet kunnen we het model op basis van deze 2 soorten verbanden gaan beschrijven. In een volgend artikel zal kolom F in het tabblad Beschr van het Voorbeeldbestand gevuld worden met alle gebruikte rekenregels.
Exponentiële groei
Eén van de belangrijkste oorzaken voor de schokkende resultaten van de MIT-studie is gelegen in het feit dat in onze wereld (in ieder geval in het gehanteerde wereld-model) diverse variabelen de neiging hebben tot een exponentiële groei. De belangrijkste daarvan is de bevolking. Hoe dat komt zullen we hierna bekijken.
Waarschijnlijk de bekendste vorm van exponentiële groei heeft te maken met onze financiën.
Stel we beginnen met € 100; wanneer we jaarlijks 5% rente krijgen (dat was ooit!) dan hoeven we niet 20 jaar te wachten tot het bedrag verdubbeld is, maar slechts 14 jaar. Dit door het effect van rente op rente. Wacht je dan nog eens 14 jaar dan heb je al 4 keer zoveel.
Op het tabblad ExpGroei van het Voorbeeldbestand kun je met het percentage ‘spelen’ om te zien wat het effect daarvan is. De bijbehorende grafiek past zich automatisch aan.
In 1970 was de groeivoet van de wereldbevolking 2,1%. Dit zou een verdubbeling betekenen na 33 jaar. In de grafiek op het tabblad ExpGroei staan de werkelijke groei en de groei met 2,1% vanaf 1970 naast elkaar. Daar valt uit af te leiden dat de groeivoet is gedaald in de loop van de tijd. De consequentie daarvan is dat de verdubbeling niet heeft plaats gevonden in 2003 maar ‘pas’ in 2013.
Bebouwbare grond
Eén van de vele consequenties van de exponentiële groei van de bevolking zien we terug bij de verwachting van de beschikbaarheid van voldoende landbouwgrond.
Volgens de Club van Rome was er in 1970 3,2 miljard ha grond beschikbaar voor landbouw. De verwachting was ook dat dat in de toekomst niet significant zou toenemen; dat zou economisch niet rendabel zijn. Op dat moment was er wereldwijd per persoon 0,4 ha nodig om voldoende voedsel te kunnen verbouwen (ter illustratie: in de US werd er toen 0,9 ha pp gebruikt). In het rapport is er ook rekening mee gehouden dat er per persoon 0,08 ha van de beschikbare bouwgrond nodig was voor bewoning en andere infrastructuur.
In het tabblad Bebouwbaar van het Voorbeeldbestand is in de grafiek te zien dat er lang (ruim) voldoende grond was om voedsel te verbouwen. Maar door de exponentiële groei van de bevolking stijgt de benodigde hoeveelheid grond na 1970 snel, terwijl de beschikbare hoeveelheid vanaf dat moment versneld gaat afnemen. De 2 lijnen snijden elkaar ongeveer in het jaar 2000.
Gelukkig is die ‘voorspelling’ niet bewaarheid. Waarschijnlijk door een efficiënter gebruik van de grond en de lagere groei van de bevolking. In het tabblad Bebouwbaar kun je de productiviteit aanpassen. Hiernaast staat de grafiek bij een productiviteitsfactor van 2; ofwel er is maar 0,2 ha pp nodig. De 2 lijnen snijden elkaar nu pas in het jaar 2025.
Het mag duidelijk zijn dat een verdere verhoging van de productiviteit en/of verlaging van de groeivoet van de bevolking slechts uitstel betekent tot er niet voldoende landbouwgrond meer is. Gemiddeld over de wereld gaat het nu nog goed, maar mensen in Afrika kijken daar waarschijnlijk al anders tegen aan. Ook de oorlog in Oekraïne laat ons zien, dat een (relatief kleine) verstoring van de normale wereldorde een groot effect op onze voedselvoorziening tot gevolg heeft.
Bevolkingsgroei
In het model, dat we hier hanteren, wordt de grootte van de bevolking alleen bepaald door het aantal geboortes (T1) en doden (T2) per jaar. Zoals hiernaast te zien is bepaalt de grootte van de bevolking (KF1) echter ook weer de aantallen van T1 en T2. Dergelijke terugkoppelingen zien we meer terug in het model en deze zorgen vaak voor het exponentiele karakter van groei.
In het tabblad TerugKoppeling van het Voorbeeldbestand is dit te zien aan de hand van fictieve cijfers.
Begin 2011 kende de wereld ongeveer 7 miljard inwoners. Het aantal geboortes per 1000 personen per jaar (Geboortecijfer T3) was toen ongeveer 19,1, terwijl het aantal doden circa 8,1 per 1000 was (Sterftekans T4); de groeivoet van de bevolking per jaar was dus ongeveer 11 per 1000 ofwel 1,1%. Onder de aanname dat T3 en T4 niet veranderen kunnen we gemakkelijk het verloop van de bevolking over de jaren berekenen.
Het verloop is voor 40 jaren berekend en ook in een grafiek uitgezet. We hebben Excel 2 trendlijnen laten bepalen: een lineaire en een exponentiële. De lineaire voldoet met een R2 van 0,9968 (zie het artikel Trend-analyse) prima op het getekende stuk, maar wel is te zien dat als we deze trend zouden gebruiken om te voorspellen dat we al snel uit de pas zouden lopen. De andere trendlijn heeft een R2 van 1 en sluit dus exact aan bij de brongegevens (de trendlijn valt samen met de grafiek zelf). De bevolkingsgroei is dus exponentieel. Op het tabblad ExpGroei kunnen we zien dat een groeivoet van 1,1% betekent dat de bevolking iedere 60 jaar zal verdubbelen.
Vingeroefening 1
We gaan als eerste eens kijken hoe we de bepaling van het Geboortecijfer T3 kunnen modelleren (zie het tabblad GebCijfer in het Voorbeeldbestand). Zoals te zien is in het schema wordt T3 beïnvloed door de variabelen KF2 (Industriële productie per hoofd) en T6 (opleiding, gezinsplanning). Bij allebei staat een rode pijl. Dat betekent dat een grotere waarde voor KF2 en/of T6 er voor zorgt dat T3 kleiner wordt (in het Club-rapport wordt de achtergrond hiervan kort uitgelegd).
We hebben hier te maken met een relatief verband; hierboven staat de daarbij behorende formule. Maar daar zitten wel wat haken en ogen aan:
de formule bevat één α, waarmee we de gevoeligheid van T3 voor veranderingen in KF2 en T6 kunnen regelen. Maar de gevoeligheid per variabele kan verschillend zijn; dat zouden we zichtbaar willen hebben.
als het gemiddeld opleidingsniveau dit jaar is gestegen ten opzichte van vorig jaar, zal dat niet direct al dit jaar een verandering in T3 geven; daar zit natuurlijk een vertraging in.
een eenmalige grote wijziging in bijvoorbeeld KF2 hoeft niet ook een dergelijk effect te hebben op T3. Het is beter als we een langere periode dan 1 jaar hanteren om de gemiddelde relatieve wijziging te bepalen.
Wanneer we met deze 3 punten rekening houden wordt de formule ‘iets’ ingewikkelder:
iedere variabele heeft zijn eigen gevoeligheidsfactor GF. Omdat er in het model straks veel van dit soort factoren zijn, geven we iedere factor een aanduiding mee op welk verband deze betrekking heeft. Bijvoorbeeld GFKF2,T3 is de gevoeligheid van het verband tussen KF2 en T3. Om decimalen bij de invoer te vermijden schalen we de GF’s tussen 0 en 100. NB als het resultaat van een verband heel sterk wordt beïnvloed door de bron-variabele kan de GF ook groter dan 100 zijn.
de vertraging in het effect wordt door de V-variabelen in de formule bepaald
en de periode door de P’s. NB we bepalen op bovenstaande manier de gemiddelde wijziging tussen het begin en einde van de periode. Voorlopig lijkt dit een goede oplossing, maar misschien blijkt het straks nodig om een gemiddelde over alle wijzigingen in de periode te nemen. Of als het verloop in de periode sterk exponentieel is een nog wat ingewikkelder methode.
Om wat te kunnen experimenteren staat op het tabblad GebCijfer een tabel met fictieve cijfers over de jaren 1950-1975. De cijfers over 1950 zijn ‘hard’. Met de formule =G4*(1+(ASELECTTUSSEN(0;3)/100-1%)) in cel G5 zorgen we dat KF21951met een waarde tussen -1% en +2% wijzigt ten opzichte van 1950. Op dezelfde manier worden alle cellen in de kolommen G en H met willekeurige waarden gevuld. De waardes voor T3 zijn voor de jaren tot en met 1964 ‘hard’ ingevuld. De niet-harde cellen worden telkens opnieuw berekend wanneer op F9 wordt gedrukt.
In cel I19 staat het eerste resultaat van de berekening volgens bovenstaande systematiek:
de inhoud van cel I18 is de T3 van het vorige jaar
C41 is de waarde van GFKF2,T3
C39 is de VKF2,T3
en C40 is de PKF2,T3
De functie Verschuiving selecteert op basis van (in dit geval) 3 parameters een cel:
de eerste parameter is de start-positie van de selectie; hier de cel in de kolom met de naam T6, die in dezelfde regel staat als de formule ([T6] is de hele tabel-kolom, [@T6] alleen de cel in dezelfde regel).
de tweede is het aantal rijen naar beneden of naar boven voor de daadwerkelijke selectie
en de derde geeft aan of de selectie naar links of rechts ten opzichte van de start-positie moet plaats vinden
Op het tabblad GebCijfer staat naast de tabel met random-waarden ook een tabel waarin alle waarden in de kolommen KF2 en T6 vast zijn. Op deze manier kun je beter zien wat de consequenties van aanpassingen van de GF-, V– en P-parameters zijn voor het resultaat. De grafieken laten het effect goed zien. Het beoordelen van het resultaat voor wijzigingen in alleen KF2 of T6 kan eenvoudig door de andere GF op 0 in te stellen.
Vingeroefening 2
Het tabblad SterfteKans van het Voorbeeldbestand bevat een ander gedeelte van het vereenvoudigde model. We zien hier dat de Sterftekans T4 door 3 variabelen wordt beïnvloed: T5 Gezondheidszorg, KF4 Voedsel per hoofd en KF3 Vervuiling.
We zien 2 rode en 1 groene pijl: als T5 en/of KF4 stijgen zal de sterftekans dalen, maar wanneer de vervuiling toeneemt, neemt ook de T4 toe.
De verbanden tussen de variabelen T5-T4 en KF3-T4 kunnen we modelleren als in de vorige vingeroefening. De relatie tussen KF4 en T4 is ingewikkelder. Wanneer de hoeveelheid voedsel per hoofd blijft stijgen zal dat geen verdere daling van de sterftekans met zich meebrengen (misschien zelfs integendeel).
In het Club-rapport is wel een verband gevonden tussen het voedingsniveau (uitgedrukt in groente calorie-equivalenten) en de gemiddelde verwachte levensduur (situatie 1953). Een trendanalyse laat zien, dat dit verband zich goed laat benaderen door een 4e graadsfunctie (tenminste op het relevante stuk met een voedingsniveau tussen 3 en 12). Deze functie zullen we hierna SK_4 noemen.
De formule (zie het tabblad StefteKans) wordt er niet simpeler op! In het tweede blok gebruiken we dus niet de verhouding tussen twee waardes van KF4, maar de verhouding tussen twee uitkomsten van SK_4(KF4*). NB we moeten straks bij de implementatie van het model de waardes van KF4 schalen naar een waarde tussen 3 en 12.
In een tabel op het tabblad SterfteKans hebben we de gegevens uit het Club-rapport overgenomen. In kolom D staat de berekening volgens de 4e graadsfunctie; de verschillen zijn marginaal. Onder de tabel zijn de 5 benodigde parameters voor de functie opgenomen; de cellen hebben overeenstemmende namen gekregen.
Deze namen gebruiken we in de eigen functie SK_4; deze functie zullen we straks in de modelberekeningen gebruiken in plaats van formules met cel-verwijzingen. NB1 voor uitleg over eigen functies, zie het betreffende artikel. NB2 de functie bevat ook een underscore, omdat Excel anders denkt dat het een verwijzing is naar de cel in kolom SK en rij 4.
Ook nu hebben we een overzicht gemaakt met fictieve gegevens. Door met de diverse parameters te spelen krijg je gevoel voor de samenhang tussen de diverse variabelen. De bijbehorende grafiek ondersteunt daarbij.
Het volgende artikel van G-Info zal gewijd zijn aan de implementatie van het vereenvoudigde model. Daar liggen wel wat uitdagingen; technisch maar zeker ook bij het vullen van de diverse parameters. Er zullen heel wat aannames gedaan moeten worden. En of de resultaten van het model dan lijken op de uitkomsten van de Club van Rome? We zullen het zien.
Het vorige artikel ging over Voorspellen. We hebben daar laten zien hoe je op diverse manieren op basis van historische gegevens iets kunt zeggen over de toekomst. Dat daarbij veel ‘slagen om de arm’ gehouden moeten worden, mag duidelijk zijn: als er ook maar iets in de omgevingsfactoren verandert, kunnen de voorspellingen ver afwijken van de nog te behalen resultaten.
In dit artikel gaan we de zaak omdraaien: op basis van feiten/metingen én scenario’s voor omgevingsfactoren berekenen we de consequenties voor de toekomstige resultaten.
Als voorbeeld voor de werkwijze kijken we of we de waterstanden in de Geul (het gedeelte vanaf de bron tot aan Valkenburg) op deze manier zouden kunnen voorspellen. Alvast een disclaimer: het is nog een heel eenvoudig model, dus ik blijf nog even, 75 meter hoger, in Heerlen wonen!
In dit voorbeeld wordt gebruik gemaakt van enkele (minder bekende) Excel-technieken: kruispunt van reeksen en het toepassen van een zelf-gedefinieerde kansverdeling.
Probleem-beschrijving
Zoals gezegd gaan we het probleem flink versimpelen zodat we het in een eenvoudig model kunnen gebruiken (zie het tabblad Data van het Voorbeeldbestand):
vanaf de bron slingert de Geul zich over ongeveer 50km naar Valkenburg
dit gedeelte van de rivier wordt in 5 gelijke delen verdeeld
per deel ligt vast hoeveel water er altijd blijft staan (MinStand). Vanaf de bron is de rivier gemiddeld 1m breed en er staat altijd minimaal 25cm water, dus dat is 2.500m3. In Valkenburg is de rivier maar 2m breed, maar is altijd minstens 50cm diep.
ook leggen we de hoeveelheid water vast (MaxStand) waarbij het gebied gaat overstromen. Vanaf de bron neemt deze maximale stand toe; net voor Valkenburg heeft de rivier de ruimte in de breedte, maar in het stadje wordt die over een flink stuk ingeperkt tot 2m.
door regenval komt er water bij. Per deel ramen we de maximale hoeveelheid water dat daar per dag in de rivier terecht komt (MaxBij).
als laatste hebben we nog nodig hoeveel water er dagelijks maximaal afgevoerd kan worden (MaxAf; vaak beperkt door het meanderen, versmallingen etcetera).
NB nog maar een keer: dit zijn heel simpele benaderingen; om het model te verbeteren zouden exactere metingen moeten worden uitgevoerd.
Kruispunt
Voordat we het eerste model gaan bekijken bespreken we eerst een Excel-techniek die in dat model gebruikt zal worden.
In het overzicht op het tabblad Data hebben diverse reeksen een naam gekregen: de gegevens achter MinStand, MaxStand et cetera krijgen de naam uit de eerste kolom. Voor de kolommen zouden we ook zoiets willen doen, maar de kolomkoppen bestaan uitsluitend uit getallen en Excel-namen moeten beginnen met een letter of speciaal teken. Ook één of twee letters er voor zetten is niet voldoende omdat er dan een verwijzing naar een kolomnaam ontstaat. We hebben er voor gekozen om de gegevens in de kolommen de naam _Km10, _Km20 et cetera te geven.
Om in een tabel gegevens op te zoeken gebruiken we vaak Vert.Zoeken of een combinatie van Index en Vergelijken.
In het Voorbeeldbestand gebruiken we de kruispunt-techniek: in cel J4 van het tabblad Data staat de formule =MinStand _Km10.
LET OP de 2 namen moeten gescheiden zijn door een spatie.
Het resultaat van de formule is de inhoud van de cel op het kruispunt van de 2 reeksen.
We kunnen de formule dynamisch maken: in plaats van harde namen, willen we verwijzingen naar cellen gebruiken. Helaas: een gewone verwijzing werkt niet, we moeten de functie Indirect gebruiken (zie de formule in cel J8: =INDIRECT(J6) INDIRECT(“_Km”&J7)). Plaats wel een spatie tussen de 2 Indirect-functies!
Eerste model
Op het tabblad Simpel van het Voorbeeldbestand nemen we allereerst met de kruispunt-techniek de gegevens uit het tabblad Data over. Door een juiste mix van absolute en relatieve verwijzingen kan de formule uit cel C5 overal gekopieerd worden.
Om te voorkomen dat per ongeluk basis-gegevens worden overschreven zijn de model-tabbladen beveiligd (wel zonder wachtwoord). Wil je gegevens wijzigen, doe dat dan in het tabblad Data.
De opbouw van het model:
we gaan ervanuit dat op dag 1 de rivier overal de minimumstand heeft.
in de kolom daarnaast bepalen we de hoeveelheid water die er bij komt, door een willekeurig getal te kiezen tussen 0 en MaxBij voor dat deel van de rivier.
de hoeveelheid water, dat wordt afgevoerd, wordt bepaald door de formule (in cel E11) =ALS(C11+D11>C$5;MIN(C$8;C11+D11-C$5);0) Dus als de beginstand plus het water, dat er bij komt, meer is dan de minimumstand dan wordt er water afgevoerd, anders niets. De afvoer is gelijk aan de beginstand plus de toevoer minus de minimale stand. Maar als daarmee de MaxAf wordt overschreden, dan wordt de MaxAf afgevoerd.
de berekening van de eindstand (in cel G11) is dan makkelijk: =C11+D11-E11
de beginstand van de volgende dag is de eindstand van de dag er voor. De berekening van de overige gegevens van die dag is gelijk aan die van de eerste dag.
bij de volgende delen van de rivier is de berekening precies hetzelfde met één verschil: de hoeveelheid water dat er per dag bij komt is niet alleen de hoeveelheid regen maar ook de hoeveelheid die uit het vorige deel van de rivier komt (kolom Af).
Zo gaat het resultaat er dan uitzien (zie het tabblad Simpel van het Voorbeeldbestand):
Om snel te zien of de eindstanden per dag nog ‘behapbaar’ zijn, zijn er kolommen tussengevoegd met een voorwaardelijke opmaak (stoplichtmodel).
Druk op F9 (herberekenen) en u ziet wat de consequenties volgens dit model zijn voor de waterstromen in de Geul. Vanwege de willekeurige hoeveelheid regen, die gegenereerd wordt, wijzigen iedere keer alle resultaten. Hou F9 vast en u ziet snel waar de grootste problemen worden verwacht.
Aangepast model
Eén van de gehanteerde aannames (los van de onderliggende ‘metingen’) rammelt nogal: als het in één deel hard regent, dan kan het in het volgende deel bijna droog zijn. Dat is natuurlijk op zo’n korte afstand helemaal niet reëel. Op het tabblad Afh van het Voorbeeldbestand vindt u dan ook een ander model. Daarbij krijgt het eerste deel van de rivier per dag nog steeds een willekeurige hoeveelheid regen, maar de andere delen krijgen op die dag een evenredige hoeveelheid. In cel I11 staat daartoe de formule: =H$7*D11/C$7 De maximaal verwachte regen in het tweede deel (H7) wordt vermenigvuldigd met de hoeveelheid regen in het eerste deel (D11) gedeeld door de maximaal verwachte regen in het tweede deel (C7) .
Maar als je nu F9 gebruikt, zul je zien dat deze aanpassing voor de resultaten nog niet zoveel uitmaakt. Ook nu ontstaan in het tweede gedeelte van de rivier al snel overstromingen.
Eigen kansverdeling
Bij de vorige modellen hebben we gebruik gemaakt van een zogenaamde discrete, uniforme verdeling (iedere hoeveelheid regen heeft even veel kans om voor te komen).
Een andere bekende verdeling is de normale distributie.
Maar allebei geven ze niet goed weer hoe de regen zich gedraagt in onze regio.
De kans dat het op een dag niet regent is (gelukkig) groter dan alle andere mogelijkheden. Maar als het regent dan komt er ook echt wel wat naar beneden.
Uniforme verdelingNormale verdeling
De volgende verdeling geeft dat idee weer:
De kans dat het niet regent is in dit voorbeeld 25%, kans op een heel klein beetje regen is klein, de kans op iets meer regen wordt groter en de kans op heel veel regen is heel klein. Deze verdeling zouden we in ons model willen gebruiken. Voordat we dat doen, kijken we even gedetailleerder naar deze verdeling.
In het tabblad KansVerdeling van het Voorbeeldbestand is de gewenste verdeling ‘met de hand’ ingevuld. Stap 0 krijgt een kans van 25%, de volgende stap 2,5%, dan 1,5% et cetera tot en met stap 25 die een kans van 0,5% heeft.
De tabel (met de naam Tabel1) heeft ook nog een cumulatieve kolom. LET OP in deze kolom staan de cumulatieven tot en met de VORIGE stap!
We gaan deze tabel gebruiken om vanuit een percentage in de cumulatieve kolom de daarbij behorende stap op te zoeken. Een combinatie van de functies Index en Vergelijken levert het gewenste resultaat:
NB de 3e parameter in de functie Vergelijken heeft de waarde 1. De functie zoekt dan naar de grootste waarde die kleiner dan of gelijk is aan de Zoekwaarde (de eerste parameter).
In cel B34 wordt telkens een willekeurig getal tussen 0 en 1 berekend, in C34 staat dan de bijbehorende stap. De rode ster in de grafiek geeft de positie aan van de 30%-kans, de zwarte ster die van de kans uit cel B34. Druk op F9 om in B34 een andere kans te genereren.
Met deze techniek vertalen we een continue, uniforme distributie naar een discrete, gewenste verdeling. 25% van de willekeurige getallen in cel B34 laten in cel C34 een stap=0 zien, 2,5% genereren een stap=1, 1,5% een stap=2 enzovoort.
Ter controle worden in het tabblad VerdContr telkens 1.000 percentages gegeneerd, die op bovenstaande manier naar een Code worden vertaald. Wanneer deze codes in een draaitabel worden gezet, kunnen we daarop een draaigrafiek baseren. We zien dan onze gewenste verdeling terug.
NBVernieuw de draaitabel en alles wijzigt. Aangezien Excel automatisch alles opnieuw berekent (en dus ook nieuwe kansen bepaalt) hoeven we niet meer op F9 te drukken om nieuwe codes te krijgen.
Laatste model
In het tabblad Verdeling van het Voorbeeldbestand hebben we bovenstaande verdeling en techniek gebruikt om het model te verbeteren. In de Bij-kolom in het 10-km-deel van de Geul gebruiken we de formule: =INDEX(Tabel1[Stap];VERGELIJKEN(ASELECT();Tabel1[Cum];1))*C$7/MAX(Tabel1[Stap]) Dus de gevonden stap wordt geschaald naar een waarde tussen 0 en de maximaal verwachte regenval.
NB1 je kunt de gewenste verdeling verfijnen door meer stappen in te voegen; door MAX(Tabel1[Stap]) wordt de gevonden stap op de juiste manier gecorrigeerd. Zorg wel dat de som van de kansen in de gewenste verdeling precies 100% is.
NB2 aan de Eind-kolommen is nog een voorwaardelijke opmaak toegevoegd waardoor de ‘waterstand’ snel kan worden ingeschat.
Allerlaatste model
In het vorige model kan de hoeveelheid regen van dag op dag flink fluctueren; dat is natuurlijk niet helemaal de realiteit. In het tabblad Verdeling4gelijk van het Voorbeeldbestand hebben we er voor gezorgd dat er telkens 4 dagen op een rij ‘hetzelfde weer’ is, beter gezegd dat het telkens 4 dagen even veel regent.
En zo kunnen we nog wel even doorgaan. Iedere aanpassing aan het model roept weer vragen op en nodigt uit tot nieuwe aanpassingen. Wat te denken van de continue toename van het water in Valkenburg. Hoe zal de situatie daar zijn na 40 dagen???? Ergens zit nog iets geks in het model.
Maar goed, we laten de verdere verfijning over aan Rijkswaterstaat 😉
ofwel 
